误读411年的欧几里得

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1600年，35岁的徐光启同利玛窦会面，他开始接触西方的学问，我们暂且称之为西学，西学是一个很大的概念，不容易达成共识，因此，我将从欧几里得的《几何原本》谈起，以这个例子说明，中国的读书人，一直没有真正懂得西学是什么，这种误读超过了我的想象，从我曾经发的文章，以及，网友的反应，我更确信，我的判断，但是，网友之中，的确也有很多人，意识到这个问题，因此，我有必要更进一步明确化。

之所以，说411年之后，才有明白欧几里得的中国人，因为，我是第一个认识到这个问题的中国人。

这个说法容易引起众怒与反感，因为，我深深理解中国读书人的心理状态，因此，请不要急于动怒，看看我说的有没有道理。

为什么不要发怒？因为，即使，真的我是理解欧几里得的第一个中国人，也没有什么了不起。事实上，这个说法永远不可能得到证实，因为，我们已经不可能让欧几里得复活，并当着所有中国人的面或者来个cctv的现场采访。即使，有这种可能性，能够理解他的古希腊语言的中国人，可能今天没有一个人。所以，大家可以暂且当做痴人说梦话吧！

所以，请先别急于下判断！看完我的理由才说。

如何了解2000多年前，古代人的真实想法？其实，是很难的，但是，也许，有接近的办法。谈谈我的体会。

我为了寻找信仰，释迦牟尼是我打算拜的第一个师傅，可是，自称是他的传人的和尚、大师之流，交谈之后，我大都半信半疑，但是，经过我的思考、阅读、比较、观察、体验之后，我可以明确地判断那些师傅、和尚之流，全是胡说八道！中文的佛经，可以说汗牛充栋，一本《心经》，不同人就有不同的解释。后来，我又读了一些英文的从日本、印度、缅甸、斯里兰卡等亚洲等地的佛经，我更愿意将佛经当做哲学、文学或道德说教，来接受，更确信地是释迦牟尼自己没有留下文字，在他死后100多年，弟子们怕口口相传的弟子死亡，而不能够保留下来，于是，就有了文字——请记住文字的局限性！文字记录的思想，损耗太大！反正，我没有性经验时候，我无论如何不能够真正知道“那事”到底是什么！经验是知识最基本、最可靠的来源！

但是，仍然，有接近他的方法！我就有这样的体验。《金刚经》我读过几个版本，也听过不同的讲座，总是懵懵懂懂，有一天，我同一帮信佛的居士，在一个尼姑的代领下，在僻静的公园里，反反复复读《金刚经》，从头到尾不停顿，读了几个小时，突然，释迦牟尼真的出现在我的脑海，仿佛他对我说：“我的意思是这样、这样滴……”，犹如，一道闪电，穿透我的心灵！似乎，明白了！

很类似我在初中刚刚学习《平面几何》，证明某一定理，百思不得其解，突然，有了一个灵感，思路找到了！我在20多年后，理解微积分的合理性，也是有同样的体验！

也许，以上都是我的错觉，但是，我只是把我的感受表述出来，是否靠谱，则是读者自己的事！

即古人的思想可能是可以理解的！

我为什么说411年来，没有理解欧几里得的中国人，就是因为，我为了寻找信仰，就需要寻找关于宇宙、人的来源的合理的解释，说实话，我更愿意相信科学的解释，因为，他们遵循的原则是一致的，即爱因斯坦、霍金和其他超弦的理论创建人的理论，他们有一个十分精确的数学模型，而且，可以，同得到实际的观测相符，甚至，可以在实验室进行模拟！这就是飞机为什么会飞、彼此的电脑可以相互交换数据的原因！

我厌恶哪些盲目的爱国者，一方面因为他们享受到现代文明带来的好处，一方面，又不愿意坦诚其他文化圈的贡献，什么好处都往自己的老祖宗哪里靠，什么莱布尼兹的二进制是受惠阴阳八卦，微积分是易经的演变，毕达哥拉斯的定理是勾股定理等等！记住：知识是全人类的，古希腊的文明也同样受惠于古埃及、古巴比伦的贡献！今天欧美文明，同样受惠于古希腊、古罗马呀！

我厌恶虚假！

如果，把现代科学理论的来源往回溯求，其源头均可以从欧几里得的《几何原本》找到！微积分、非欧几何、解析几何，直接就是从《几何原本》的核心问题脱胎出来的！

中国第一个去耶鲁大学读书的？（我打不出）容，对于微积分深恶痛绝！

我们对于西学的了解也主要依赖2、30年代的留学生的翻译，说实话，他们到国外短短的几年，不可能学到或理解什么西学的精髓，更恐惧的是数学、物理、化学、工程、政治等，西学到了20或30年代，已经分得太专业化了。在网上我说胡适不懂得数理化就招来谩骂！

我意识到2、30年代的知识分子，带来的问题还有梁漱溟的例子，他二十几岁就当北京大学哲学教授，不会一门外语、从没有出过国门，写了《东西文化及研究》！你可以推测他的深度了！

文革期间，我是读小人书长大的，书店除了领袖语录，基本上也没有什么了。

清朝闭关锁国之后，西方的学问几乎绝迹了！

所以，徐光启时代，可能算正式开始接触了西学！

但是，徐光启接触的西学，先天不足，哥白尼的学说是教会禁止的。

《几何原本》也是很粗浅的，欧洲的知识界，也刚刚开始从中世纪的麻木中复苏，正因为此，布鲁诺就因为信奉并传布哥白尼的理论，而活活烧死！布鲁诺的信仰的力量来源，就是几何带来的力量，而且，太阳中心说，最早，也是来源于耶稣诞生前的300多年，显然，布鲁诺有充分理由相信古希腊的鲜活的思想，不受制于300多年后的耶稣！也就是说古代学术的复兴，也刚刚开始！欧几里得的《几何原本》、亚里士多德的著作，也都是从阿拉伯语翻译过来，直接从古希腊和古罗马的翻译工作，也才刚开始！

况且，某理论、学说，真正的价值，可能需经历漫长的时间考验，在过去几百年的选择与淘汰，真有价值的东西，才能够留下来！也就是说利玛窦对于《几何原本》的理解，也是肤浅的，他们的动机仅仅是以几何强大的逻辑推理学问为工具，向传教的对象显示他们知识的高贵与力量！说实话，打动徐光启的力量就在这里！但是，他接触的《几何原本》确实是皮毛！

到今天，已经大不同了，我们对于社会、历史、人性的理解远远高于徐光启的时代，我们也可以看见笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、罗巴切夫斯基、黎曼、爱因斯坦等人，对于几何的玩法！罗素更有意思，他哥哥教他几何时，首先，遵从欧几里得的套路，先定义“点”“直线”等，罗素就不服气，为什么“点是没有部分？没有部分是什么东西？”当时，就让他哥哥晕了，他哥哥只好说，如果，你不认可，我们就没有办法进行下去了！罗素后来为建立数学逻辑，做出了贡献！我们几天能够使用互联网，就与数学逻辑相关！欧几里得的第五公设，就难倒很到很多天才，为完备这个公设，创立了非欧几何——这就是相对论的理论基础！

而中国呢？

仍然，停留在初中《平面几何》的层次！

即便，算《平面几何》，中国人，并没有懂得欧几里得的本意！

《几何原本》是仅次于《圣经》的发行量的一本书！而我们仅仅当成《平面几何》！林肯当做他成为好律师的逻辑训练工具！富兰克林、杰斐逊、汉米尔顿等美利坚的建国者们将《几何》精神，纳入他们的《独立宣言》！

欧几里得不可能复活，他无力告诉我他的本意！但是，古希腊的学术传统，还是可以感受到的！

首先，柏拉图在他的《理想国》、《对话录》等书中，强调了数学、几何的确定性、永恒性！亚里士多德在他的作品中，大量使用几何作为说明的例证！而亚里士多德的哲学是基督教哲学的基石，学习《几何原本》的原因，也是因为中世纪的哲学家、神学家们，不明白从阿拉伯语翻译的亚里士多德的作品，所以，加强了对古希腊原版的翻译，巴黎大学、剑桥大学的设立，同这个目的均有关系！所以，通过以上的思考，我得出《几何原本》起码还有以下意义：

1、思维的逻辑典范；

2、宇宙的形状的推理过程；

3、物质构成及相互比例关系；

4、作图，构建新的某一事物的存在，如化圆为方的尝试；

5、认识物质的特征的形象化的手段，比如；亚里士多德说:一条线段，可以分成一半，一半的一半可以继续分，直到永远可以进行下去，这里，就有几个哲学问题：比如，理论上可以再分，直到无穷！那么，无穷是什么？现实性与可能性的关系等。

6、空间判断：一维、二维、三维等，现在超弦大概是十一维！

7、美、简洁、和谐的训练！

8、智力游戏！

等等！

中文世界有懂他的吗？

丘成桐教授，是第一个跳入脑海的人，知道他的成就，也听过他的演讲，他应当说是进入世界一流梯队的中文世界的代表了，但是，他的数学同欧几里得已经相差太远！欧几里得的几何同数学相分开的，而且，他的几何只能使用直尺和圆规，如果说古希腊的数学是一颗大树的话，丘成桐的学问相当于树叶的细胞，那么，对于普通人来说，我们只需要看见树而不是树叶！

《欧几里得在中国》的翻译，从他的工作可以看出，他已经看出从徐光启以来，中国人已经在误读了，但是，我没有看见他进一步的论证！

《几何原本》最新的全文中文版翻译，从他的苦心，可以看出，他发现了欧几里得的真意了，但是，不完全明确地提出！也没有从亚里士多德的原著中，理出哲学意义的头绪。

我接触的公开出版物就那么多！这些，令我不满意！

民间有吗？网线下有吗？我不知道！于是，我大胆地得出结论：经过411年，终于有理解欧几里得的中国人了！

也许，我是误断！

真的，有能够提出更有说服力的国人，我是求之不得！

我为什么老是提《几何原本》的问题，因为，从欧洲学者的411年的研究看，仍然不能够说《几何原本》是真理！也就是说：在人类创造的各种语言当中，没有比数学或几何更精确的语言了，但是，这些，语言仍然，不完备的！

也就是说：没有真理！因为，对于真实世界的理解，总有欠缺或疏漏！

但是，这并不意味着我们什么都不信，比如：我显示屏的美女照片，很好看，但是，随着鼠标变大放大，照片就逐渐丑陋了，直到，只剩下一个斑点！即，在一定范围内是可信的！

在此，我提醒广大的热爱中国传统文化的朋友，我深爱我的文字，但是，并不意味着不能够反思我们同其他文化的关系。

知识是全人类共同的财富！我渴望中文世界能够为人类贡献新知识！那么，前提一定是：坦诚！

还有，梁漱溟指出，“格物致知”古今有六百多种解释。黄仁宇说四书五经中的“仁”，出现六十处，每处意思不同！中国哲学中的“空”“道”“气”至今没有什么有说服力的解释。事实上古希腊哲学中也有物质是“火”“气”“水”“土”，以及“以太”，但是，他们为什么会出现现代科学？

宇宙起源理论，不说是否为真理，起码它有一个精确的数学模型，可以模拟大爆炸瞬间的状态，并能够通过计算机形象化，而且，同实验室的数据以及实际观测相吻合。

强调重读《几何原本》，是因为，希望崇拜中华文化的朋友注意沟通方式，几何的点、直线、三角形、圆等的定义，甚至，可以有分歧，你们的“气”、“仁”、“忠”、“孝”、“义”、“福”，可能就更不是一回事了！

那么，什么是幸福？什么是神？可能分歧更大！

通过《几何原本》的例子，创建彼此确信的基础！

希望找到第二个理解欧几里得的中国人！

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丘成桐教授的文章，转：

   一、数学之基本意义
    数学之为学，有其独特之处，可说是人文科学和自然科学的桥梁。
    数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，用数学的方法表达出来。这里所说的大自然比一般人所了解的来得广泛，我们认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分，我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。
    数学是一门公理化的科学，所有命题必需由三段论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部分数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的分别在哪里？
    大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来决定研究的方向，这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质，气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。文化修养是以数学的功夫为基础，自然科学为辅，但是深厚的人文知识也极为要紧，因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写《史记》除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。
    刘勰《文心雕龙》以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。历代大数学家如阿基米德如牛顿莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由于探索自然界的现象而引起的。
    广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂三十年，时而迷惘，时而兴奋，自觉同《诗经》《楚辞》的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。
    在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在，我却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，“虽九死其犹未悔”。
    我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。当时的心境，可以用以下两句来描述：“落花人独立，微雨燕双飞。”
    以后大批的弦理论学家参与研究这个结构，得出很多深入的结果。刚开始时，我的朋友们都对这类问题敬而远之，不愿意与物理学家打交道。但我深信造化不致弄人，回顾十多年来在这方面的研究尚算满意，现在卡拉比——丘空间的理论已经成为数学的一支主流。
    二、数学的文采
    数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则。
    我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。
    从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼兹的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作，它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。
    数学家在开创新的数学想法的时候，可以看到高雅的文采和崭新的风格，例如欧几里得证明存在无穷多个素数，开创反证法的先河。高斯研究十七边形的对称群，使伽罗华群成为数论的骨干。这些研究异军突起，论断华茂，使人想起五言诗的始祖苏李唱和诗和词的始祖李太白的《忆秦娥》。
    中国诗词都讲究比兴，有深度的文学作品必须要有“义”、有“讽”、有“比兴”。数学亦如是。我们在寻求真知时，往往只能凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自然的感觉而向前迈进，这种感觉是相当主观的，因个人的文化修养而定。
    文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象界。数学家为了创造美好的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，就可以尽情地发挥想象力，然而文章终究有高下之分。大致来说，好的文章“比兴”的手法总会比较丰富。
    数学上常见的对比方法乃是低维空间和高维空间现象的对比。我们虽然看不到高维空间的事物，但可以看到一维或二维的现象，并由此来推测高维的变化。我在做研究生时企图将二维空间的单值化原理推广到高维空间，得到一些漂亮的猜测，我认为曲率的正或负可以作为复结构的指向，这个看法影响至今，可以溯源到十九世纪和二十世纪初期曲率和保角映像关系的研究。
    事实上，爱因斯坦的广义相对论也是对比各种不同的学问而创造成功的，它是科学史上最伟大的构思，可以说是惊天地而泣鬼神的工作。它统一了古典的引力理论和狭义相对论。爱氏花了十年功夫，基于等价原理，比较了各种描述引力场的方法，巧妙地用几何张量来表达了引力场，将时空观念全盘翻新。
    同文学极为相似的是，从局部结构发展到大范围的结构也是近代数学发展的过程，往往通过比兴的手法来处理。几何学和数论都有这一段历史，代数几何学家在研究奇异点时通过爆炸的手段，有如将整个世界浓缩在一点。微分几何和广义相对论所见到的奇异点比代数流形复杂，但是也希望从局部开始，逐渐了解整体结构。数论专家研究局部结构时则通过素数的模方法，将算术流形变成有限域上的几何，然后和大范围的算术几何对比，得出丰富的结果。
    由于文学家对事物有不同的感受，同一事或同一物可以产生不同的吟咏。对事物有不同的感受后，往往通过比兴的方法另有所指，例如“美人”有多重意思，除了指美丽的女子外，也可以指君主，屈原《九章》：“结微情以陈词兮，矫以遗夫美人。”也可以指品德美好的人，《诗经•邶风》：“云谁之思，西方美人。”苏轼《赤壁赋》：“望美人兮天一方。”
    数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。例如勾股定理的不同证明有十个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明让我们以不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上不同的发展。
    记得三十年前我利用分析的方法来证明完备而非紧致的正曲率空间有无穷大体积后，几何学家Gromov开始时不相信这个证明，以后他找出我证明方法的几何直观意义后，发展出他的几何理论，这两个不同观念都有它们的重要性。
    对空间中的曲面，微分几何学家会问它的曲率如何，有些分析学家希望沿着曲率方向来推动它一下看看有甚么变化，代数几何学家可以考虑它可否用多项式来表示，数论学家会问上面有没有整数格点。这种种主观的感受由我们的修养来主导。
    三、数学的品评与演化
    江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。
    好的工作应当是文已尽而意有余，大部分数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。
    我曾经用一个崭新的方法去研究调和函数，以后和几个朋友一同改进了这个方法，成为热方程的一个重要工具。开始时没有得到别人的赞赏，直到最近五年大家才领会到它的潜力。然而我们还是锲而不舍地去研究，觉得意犹未尽。
    数学华丽的作品可从泛函分析这种比较广泛的学问中找到，虽然有其美丽和重要性，但与自然之道总是隔了一层。举例来说，从函数空间抽象出来的一个重要概念叫做巴拿赫空间，在微分方程学有很重要的功用，但是以后很多数学家为了研究这种空间而不断推广，例如有界算子是否存在不变空间的问题，确是漂亮，但在数学大流上却未有激起任何波澜。
    能经得起时间考验的工作寥寥无几，政府评审人才应当以此为首选。历年来以文章篇数和被引用多寡来做指针，使得国内的数学工作者水平大不如人，不单与自然隔绝，连华丽的文章都难以看到。
    数学的演化和文学有极为类似的变迁。从平面几何至立体几何，至微分几何等等，一方面是工具得到改进，另一方面是对自然界有进一步的了解，将原来所认识的数学结构的美发挥尽至后，需要进入新的境界。江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。上面谈到的高维拓扑文气已尽，假使它能与微分几何、数学物理和算术几何组合变化，亦可振翼高翔。
    当一个大问题悬而未决的时候，我们往往以为数学之难莫过于此。待问题解决后，前途豁然开朗，看到比原来更为灿烂的火花，就会有不同的感受。科学家对自然界的了解，都是循序渐进，在不同的时空自然会有不同的感受。有学生略识之无后，不知创作之难，就连陈省身先生的大作都看不上眼，自以为见识更为丰富，不自见之患也。人贵自知，始能进步。即如《庄子》所言：“今尔出于崖縵，观于大海，乃知尔丑，尔将可与语大理矣。”
    我曾经参观德国的葛庭根大学，看到十九世纪和廿世纪伟大科学家的手稿，他们传世的作品只是他们工作的一部分，很多杰作都还未发表，使我深为惭愧而钦佩他们的胸襟。今人则不然，大量模仿，甚至将名作稍微改动，据为己有，尽快发表。或申请院士，或自炫为学术宗匠，于古人何如哉。
    四、数学的意境与感情
    气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。
    王国维在《人间词话》中说：“词以境界为最上。有境界则自成高格。”他并因此而区分了“造境”与“写境”，“有我之境”与“无我之境”等。
    数学研究当然也有境界的概念，在某种程度上也可谈有我之境、无我之境，当年尤拉开创变分法和推导流体方程，由自然现象引导，可谓无我之境，他又凭自己的想象力研究发散级数，而得到zeta函数的种种重要结果，开三百年数论之先河，可谓有我之境矣。
    不少伟大的数学家，以文学、音乐来培养自己的气质，与古人神交，直追数学的本源，来达到高超的意境。
    为了达到深远的效果，数学家需要找寻问题的精华所在，需要不断培养我们对问题的感情和技巧，这一点与孟子所说的养气相似。气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。
    我的朋友Hamilton先生，他一见到问题可以用曲率来推动，就眉飞色舞。另外一个澳洲来的学生，见到与爱因斯坦方程有关的几何现象就赶快找寻它的物理意义，兴奋异常，因此他们的文章都是清纯可喜。反过来说，有些成名的学者，文章甚多，但陈陈相因，了无新意。这是对自然界、对数学问题没有感情的现象，反而对名位权利特别重视。为了院士或政协委员的名衔而甘愿千里仆仆风尘地奔波，在这种情形下，难以想象他们对数学、对自然界有深厚的感情。
    数学的感情是需要培养的，慎于交友才能够培养气质。博学多闻，感慨始深，堂庑始大。
    浓厚的感情使我们对研究的对象产生直觉，这种直觉看对象而定，例如在几何上叫做几何直觉。好的数学家会将这种直觉写出来，有时可以用来证明定理，有时可以用来猜测新的命题或提出新的学说。
    但数学毕竟是说理的学问，不可能极度主观。《诗经》“蓼莪”“黍离”，屈原《离骚》《九江》，汉都尉河梁送别，陈思王归藩伤逝，李后主忆江南，宋徽宗念故宫，俱是以血书成、直抒胸臆，非论证之学所能及也。
    五、数学的应用与训练
    解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。
    数学除与自然相交外，也与人为的事物相接触，很多数学问题都是纯工程上的问题。有些数学家毕生接触的都是现象界的问题，可谓入乎其内。大数学家如尤拉、如富里哀、如高斯、如维纳、如冯纽曼等都能入乎其内，出乎其外，既能将抽象的数学在工程学上应用，又能在实用的科学中找出共同的理念而发展出有意义的数学。反过来说，有些应用数学家只用计算器作出一些计算，不求甚解，可谓二者皆未见矣。
    近代有些应用数学家以争取政府经费为唯一目标，本身无一技之长，却巧立名目，反诬告基本数学家对社会没有贡献，尽失其真矣。有如近代小说以情欲、仇杀、奸诈为主题，取宠于时俗，不如太史公《刺客列传》中所说：“自曹沫至荆轲五人，此其义或成或不成，然其立意较然，不欺其志，名垂后世，岂妄也哉。”
    应用数学家不能立意较然，而妄谈对社会有贡献，恐怕是缘木求鱼了。
    好的数学家需要领会自然界所赋予的情趣，因此也须向同道学习他们的经验。然而学习太过，则有依傍之病。顾亭林云：“君诗之病在于有杜，君文之病在于有韩，欧。有此蹊径于胸中，便终身不脱依傍二字，断不能登峰造极。”
    今人习数学，往往依傍名士，凡海外毕业的留学生，都为佳士，孰不知这些名士泰半文章与自然相隔千万里，画虎不成反类犬矣。很多研究生在跟随名师时，做出第一流的工作，毕业后却每况愈下，就是依傍之过。更有甚者，依傍而不自知，由导师提携指导，竟自炫“无心插柳柳成荫”，难有创意之作矣。
    有些学者则倚洋自重，国外大师的工作已经完成，除非另有新意，不大可能再进一步发展。国内学者继之，不假思索，顶多能够发表一些二三流的文章。极值理论就是很好的例子。由Birkhoff、Morse到Nirerberg发展出来的过山理论，文意已尽，不宜再继续了。
    推其下流，则莫如抄袭，有成名学者为了速成，带领国内学者抄袭名作，竟然得到重视，居庙堂之上，腰缠万贯而沾沾自喜，良可叹也。
    数学家如何不依傍才能做出有创意的文章？
    屈原说：“纷吾既有此内美兮，又重之以修能。”如何能够解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。
    媒体或一般传记作者喜欢说某人是天才，下笔成章，仿佛做学问可以一蹴而就。其实无论文学和数学，都需要经过深入的思考才能产生传世的作品，所谓“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。
    一般来说，作者经过长期浸淫，才能够出口成章，经过不断推敲，才有深入可喜的文采。王勃《滕王阁序》，丽则丽矣，终不如陶渊明《归去来辞》、庾信《哀江南赋》、曹植《洛神赋》诸作来得结实。文学家的推敲在于用字和遣辞。张衡《两京》、左思《三都》，构思十年，始成巨构，声闻后世，良有以也。数学家的推敲极为类似，由工具和作风可以看出他们特有的风格。传世的数学创作更需要有宏观的看法，也由锻炼和推敲才能成功。
    三十年来我研究几何空间上的微分方程，找寻空间的性质，究天地之所生，参万物之行止。乐也融融，怡然自得，溯源所自，先父之教乎。

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丘成桐教授的文章，转：

   一、数学之基本意义
    数学之为学，有其独特之处，可说是人文科学和自然科学的桥梁。
    数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，用数学的方法表达出来。这里所说的大自然比一般人所了解的来得广泛，我们认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分，我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。
    数学是一门公理化的科学，所有命题必需由三段论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部分数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的分别在哪里？
    大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来决定研究的方向，这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质，气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。文化修养是以数学的功夫为基础，自然科学为辅，但是深厚的人文知识也极为要紧，因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写《史记》除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。
    刘勰《文心雕龙》以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。历代大数学家如阿基米德如牛顿莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由于探索自然界的现象而引起的。
    广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂三十年，时而迷惘，时而兴奋，自觉同《诗经》《楚辞》的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。
    在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在，我却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，“虽九死其犹未悔”。
    我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。当时的心境，可以用以下两句来描述：“落花人独立，微雨燕双飞。”
    以后大批的弦理论学家参与研究这个结构，得出很多深入的结果。刚开始时，我的朋友们都对这类问题敬而远之，不愿意与物理学家打交道。但我深信造化不致弄人，回顾十多年来在这方面的研究尚算满意，现在卡拉比——丘空间的理论已经成为数学的一支主流。
    二、数学的文采
    数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则。
    我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。
    从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼兹的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作，它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。
    数学家在开创新的数学想法的时候，可以看到高雅的文采和崭新的风格，例如欧几里得证明存在无穷多个素数，开创反证法的先河。高斯研究十七边形的对称群，使伽罗华群成为数论的骨干。这些研究异军突起，论断华茂，使人想起五言诗的始祖苏李唱和诗和词的始祖李太白的《忆秦娥》。
    中国诗词都讲究比兴，有深度的文学作品必须要有“义”、有“讽”、有“比兴”。数学亦如是。我们在寻求真知时，往往只能凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自然的感觉而向前迈进，这种感觉是相当主观的，因个人的文化修养而定。
    文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象界。数学家为了创造美好的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，就可以尽情地发挥想象力，然而文章终究有高下之分。大致来说，好的文章“比兴”的手法总会比较丰富。
    数学上常见的对比方法乃是低维空间和高维空间现象的对比。我们虽然看不到高维空间的事物，但可以看到一维或二维的现象，并由此来推测高维的变化。我在做研究生时企图将二维空间的单值化原理推广到高维空间，得到一些漂亮的猜测，我认为曲率的正或负可以作为复结构的指向，这个看法影响至今，可以溯源到十九世纪和二十世纪初期曲率和保角映像关系的研究。
    事实上，爱因斯坦的广义相对论也是对比各种不同的学问而创造成功的，它是科学史上最伟大的构思，可以说是惊天地而泣鬼神的工作。它统一了古典的引力理论和狭义相对论。爱氏花了十年功夫，基于等价原理，比较了各种描述引力场的方法，巧妙地用几何张量来表达了引力场，将时空观念全盘翻新。
    同文学极为相似的是，从局部结构发展到大范围的结构也是近代数学发展的过程，往往通过比兴的手法来处理。几何学和数论都有这一段历史，代数几何学家在研究奇异点时通过爆炸的手段，有如将整个世界浓缩在一点。微分几何和广义相对论所见到的奇异点比代数流形复杂，但是也希望从局部开始，逐渐了解整体结构。数论专家研究局部结构时则通过素数的模方法，将算术流形变成有限域上的几何，然后和大范围的算术几何对比，得出丰富的结果。
    由于文学家对事物有不同的感受，同一事或同一物可以产生不同的吟咏。对事物有不同的感受后，往往通过比兴的方法另有所指，例如“美人”有多重意思，除了指美丽的女子外，也可以指君主，屈原《九章》：“结微情以陈词兮，矫以遗夫美人。”也可以指品德美好的人，《诗经•邶风》：“云谁之思，西方美人。”苏轼《赤壁赋》：“望美人兮天一方。”
    数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。例如勾股定理的不同证明有十个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明让我们以不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上不同的发展。
    记得三十年前我利用分析的方法来证明完备而非紧致的正曲率空间有无穷大体积后，几何学家Gromov开始时不相信这个证明，以后他找出我证明方法的几何直观意义后，发展出他的几何理论，这两个不同观念都有它们的重要性。
    对空间中的曲面，微分几何学家会问它的曲率如何，有些分析学家希望沿着曲率方向来推动它一下看看有甚么变化，代数几何学家可以考虑它可否用多项式来表示，数论学家会问上面有没有整数格点。这种种主观的感受由我们的修养来主导。
    三、数学的品评与演化
    江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。
    好的工作应当是文已尽而意有余，大部分数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。
    我曾经用一个崭新的方法去研究调和函数，以后和几个朋友一同改进了这个方法，成为热方程的一个重要工具。开始时没有得到别人的赞赏，直到最近五年大家才领会到它的潜力。然而我们还是锲而不舍地去研究，觉得意犹未尽。
    数学华丽的作品可从泛函分析这种比较广泛的学问中找到，虽然有其美丽和重要性，但与自然之道总是隔了一层。举例来说，从函数空间抽象出来的一个重要概念叫做巴拿赫空间，在微分方程学有很重要的功用，但是以后很多数学家为了研究这种空间而不断推广，例如有界算子是否存在不变空间的问题，确是漂亮，但在数学大流上却未有激起任何波澜。
    能经得起时间考验的工作寥寥无几，政府评审人才应当以此为首选。历年来以文章篇数和被引用多寡来做指针，使得国内的数学工作者水平大不如人，不单与自然隔绝，连华丽的文章都难以看到。
    数学的演化和文学有极为类似的变迁。从平面几何至立体几何，至微分几何等等，一方面是工具得到改进，另一方面是对自然界有进一步的了解，将原来所认识的数学结构的美发挥尽至后，需要进入新的境界。江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。上面谈到的高维拓扑文气已尽，假使它能与微分几何、数学物理和算术几何组合变化，亦可振翼高翔。
    当一个大问题悬而未决的时候，我们往往以为数学之难莫过于此。待问题解决后，前途豁然开朗，看到比原来更为灿烂的火花，就会有不同的感受。科学家对自然界的了解，都是循序渐进，在不同的时空自然会有不同的感受。有学生略识之无后，不知创作之难，就连陈省身先生的大作都看不上眼，自以为见识更为丰富，不自见之患也。人贵自知，始能进步。即如《庄子》所言：“今尔出于崖縵，观于大海，乃知尔丑，尔将可与语大理矣。”
    我曾经参观德国的葛庭根大学，看到十九世纪和廿世纪伟大科学家的手稿，他们传世的作品只是他们工作的一部分，很多杰作都还未发表，使我深为惭愧而钦佩他们的胸襟。今人则不然，大量模仿，甚至将名作稍微改动，据为己有，尽快发表。或申请院士，或自炫为学术宗匠，于古人何如哉。
    四、数学的意境与感情
    气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。
    王国维在《人间词话》中说：“词以境界为最上。有境界则自成高格。”他并因此而区分了“造境”与“写境”，“有我之境”与“无我之境”等。
    数学研究当然也有境界的概念，在某种程度上也可谈有我之境、无我之境，当年尤拉开创变分法和推导流体方程，由自然现象引导，可谓无我之境，他又凭自己的想象力研究发散级数，而得到zeta函数的种种重要结果，开三百年数论之先河，可谓有我之境矣。
    不少伟大的数学家，以文学、音乐来培养自己的气质，与古人神交，直追数学的本源，来达到高超的意境。
    为了达到深远的效果，数学家需要找寻问题的精华所在，需要不断培养我们对问题的感情和技巧，这一点与孟子所说的养气相似。气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。
    我的朋友Hamilton先生，他一见到问题可以用曲率来推动，就眉飞色舞。另外一个澳洲来的学生，见到与爱因斯坦方程有关的几何现象就赶快找寻它的物理意义，兴奋异常，因此他们的文章都是清纯可喜。反过来说，有些成名的学者，文章甚多，但陈陈相因，了无新意。这是对自然界、对数学问题没有感情的现象，反而对名位权利特别重视。为了院士或政协委员的名衔而甘愿千里仆仆风尘地奔波，在这种情形下，难以想象他们对数学、对自然界有深厚的感情。
    数学的感情是需要培养的，慎于交友才能够培养气质。博学多闻，感慨始深，堂庑始大。
    浓厚的感情使我们对研究的对象产生直觉，这种直觉看对象而定，例如在几何上叫做几何直觉。好的数学家会将这种直觉写出来，有时可以用来证明定理，有时可以用来猜测新的命题或提出新的学说。
    但数学毕竟是说理的学问，不可能极度主观。《诗经》“蓼莪”“黍离”，屈原《离骚》《九江》，汉都尉河梁送别，陈思王归藩伤逝，李后主忆江南，宋徽宗念故宫，俱是以血书成、直抒胸臆，非论证之学所能及也。
    五、数学的应用与训练
    解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。
    数学除与自然相交外，也与人为的事物相接触，很多数学问题都是纯工程上的问题。有些数学家毕生接触的都是现象界的问题，可谓入乎其内。大数学家如尤拉、如富里哀、如高斯、如维纳、如冯纽曼等都能入乎其内，出乎其外，既能将抽象的数学在工程学上应用，又能在实用的科学中找出共同的理念而发展出有意义的数学。反过来说，有些应用数学家只用计算器作出一些计算，不求甚解，可谓二者皆未见矣。
    近代有些应用数学家以争取政府经费为唯一目标，本身无一技之长，却巧立名目，反诬告基本数学家对社会没有贡献，尽失其真矣。有如近代小说以情欲、仇杀、奸诈为主题，取宠于时俗，不如太史公《刺客列传》中所说：“自曹沫至荆轲五人，此其义或成或不成，然其立意较然，不欺其志，名垂后世，岂妄也哉。”
    应用数学家不能立意较然，而妄谈对社会有贡献，恐怕是缘木求鱼了。
    好的数学家需要领会自然界所赋予的情趣，因此也须向同道学习他们的经验。然而学习太过，则有依傍之病。顾亭林云：“君诗之病在于有杜，君文之病在于有韩，欧。有此蹊径于胸中，便终身不脱依傍二字，断不能登峰造极。”
    今人习数学，往往依傍名士，凡海外毕业的留学生，都为佳士，孰不知这些名士泰半文章与自然相隔千万里，画虎不成反类犬矣。很多研究生在跟随名师时，做出第一流的工作，毕业后却每况愈下，就是依傍之过。更有甚者，依傍而不自知，由导师提携指导，竟自炫“无心插柳柳成荫”，难有创意之作矣。
    有些学者则倚洋自重，国外大师的工作已经完成，除非另有新意，不大可能再进一步发展。国内学者继之，不假思索，顶多能够发表一些二三流的文章。极值理论就是很好的例子。由Birkhoff、Morse到Nirerberg发展出来的过山理论，文意已尽，不宜再继续了。
    推其下流，则莫如抄袭，有成名学者为了速成，带领国内学者抄袭名作，竟然得到重视，居庙堂之上，腰缠万贯而沾沾自喜，良可叹也。
    数学家如何不依傍才能做出有创意的文章？
    屈原说：“纷吾既有此内美兮，又重之以修能。”如何能够解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。
    媒体或一般传记作者喜欢说某人是天才，下笔成章，仿佛做学问可以一蹴而就。其实无论文学和数学，都需要经过深入的思考才能产生传世的作品，所谓“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。
    一般来说，作者经过长期浸淫，才能够出口成章，经过不断推敲，才有深入可喜的文采。王勃《滕王阁序》，丽则丽矣，终不如陶渊明《归去来辞》、庾信《哀江南赋》、曹植《洛神赋》诸作来得结实。文学家的推敲在于用字和遣辞。张衡《两京》、左思《三都》，构思十年，始成巨构，声闻后世，良有以也。数学家的推敲极为类似，由工具和作风可以看出他们特有的风格。传世的数学创作更需要有宏观的看法，也由锻炼和推敲才能成功。
    三十年来我研究几何空间上的微分方程，找寻空间的性质，究天地之所生，参万物之行止。乐也融融，怡然自得，溯源所自，先父之教乎。